在探究中思悟　培养学生推理意识

刘占明

摘   要：以“三角形的三边关系”一课为例，教师要通过合理的教学情境搭建培养学生形成推理意识的平台和路径，引导学生通过推理得出三角形三边的关系，同时精心设计教学，实现学生经历、感悟、积累数学活动经验过程，发展推理意识。

关键词：小学数学；推理意识；活动经验

中图分类号：G623.5   文献标识码：A   文章编号：1009-010X（2024）13-0017-05

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《课标》）116页课例32作图理解三角形提出用直尺和圆规作三角形，直观感受为什么三角形中任意两条边的长度之和大于第三条边的长度。首先启发学生在操作过程中思考三角形边长之间的关系，感悟命题“任意两边之和大于第三边”的意义，然后引导学生用“两点之间线段最短”这个基本事实说明数学命题的正确性，形成推理意识。新冀教版小学数学教材进行了内容架构调整，设计了三角形三边关系试教课来帮助学生感悟三角形的三边关系，进一步培养他们的推理意识。

一、缘起：寻找瓶颈，落实推理

“三角形三边关系”是冀教版数学新教材四年级上册“图形和几何”部分的知识，是在学生初步理解角、三角形以及三角形具有稳定性的基础上进行的。学生在用尺规作图完成三角形的基础上，观察计算数据，推理三角形三边关系，并用“两点间线段最短”推理验证三角形三边关系的过程。新教材试教面临着两个问题，其一，四年级学生没有学习关于“尺规作图”的知识积累，对作图过程中“尺、规”的使用更没有任何痕迹。其二，用“两点间线段最短”推理三角形的三边关系时，学生从已知经验不能形成直接知识间的联系，需要合理的引导关联。对于课本所展示的内容，笔者有以下几个想法：①关于长度为4cm、5cm及8cm的三条边的三角形的“两边之和大于第三边”这个论断是否适用于所有类型的三角形？②操作、判断三条边不能围成三角形的关键在哪里？③如何架构“两点间线段最短”与三角形三边关系的验证推理的联系？④学生的推理能力如何落实？针对上述难题，我们在构思“三角形三边关系”这一主题的教学环境及实践环节时，进行了深入研究和探讨。

二、践行：追根涟源，落地抓手

（一）复习引入，埋下推理的种子

1.关于线段你知道什么呢？

2.你是如何理解“两点间线段最短”的呢？

本环节，让学生通过回忆“线段”相关知识，并通过“两点间哪条路线最短”的情景创设，让学生把“两点间线段最短”的认知与“三角形三边关系”建立联系，激活已知为后续环节做好铺垫。借助情境图抽离“三角形”，此时教师追问：三角形的三条边又会有什么关系呢？引出本节课的学习主题。

（二）尺规操作 ，形成直观助力推理

学生推理技能的发展是一个缓慢的过程，需要通过直观的方式来支持。新教材中的三角形作图内容，对于学生来说，在熟悉绘图步骤和尺规操作技巧等方面都应该得到加强和培养。

明确要求，完成三角形。用圆规和直尺作边长分别是8厘米、5厘米、6厘米的三角形。同步观察思考：作图过程中，圆规的作用是什么？直尺的作用是什么？

在本环节，通过学生利用尺规作三角形，让学生熟悉巩固尺规作三角形的方法，同时观察体会圆规和直尺在作图过程中的作用，为后面判定三条边能否组成三角形构建直观表象支撑。

（三）数据比较，促进推理能力的成长

学生推理能力的形成必须经历学习过程，利用数据比较发现规律、得出结论。只有当“探索”的理念渗透到学生的全部数学学习过程中时，他们才能够真正掌握知识。

1.问题引领，搭建推理平台。见图1，把任意两条边相加，与第三边比较，看看你有什么发现？

通过问题环境，教师清晰地指示并明确告知学生操作步骤，使他们在协同工作中寻找和发现答案，为推理提供方向。通过简单的计算和比较，让学生初步感知到三角形的两边之和大于第三边。

2.借助已知，提供推理依据。我们需要验证是否所有的三角形都具备这种特性。实际上，三角形的三条边之间还存在特定的关系。通过设计问题，我们可以让学生在前后知识点的衔接中进行推理，使得他们能够找到推理的线索。

师：同学们通过对三角形的三个边的数值分析，揭示了其三边之间的联系。假设我们随意绘制了一个三角形，但无法得知它的三边长，那么如何依据“两点间直线距离最近”来证明“三角形的任意两边之和大于第三边”呢？

在这一环节中，再次点燃学生的认知基础。从考虑两点之间线段最短的角度出发，重新思考三角形的三边关系。

生：将三角形的一条边视为两个顶点之间的线段，而其余两条边则可以被理解为两点间的一条折线。根据这两点间的线段长度最短，我们能够推断出AB这条边比其他两条边更短。

当学生再次学习到“两个点间线段最短”这个概念的时候，教师提出了这样的问题：“怎样才能正确地解释为什么三角形的任何两边的总长度都超过了另外一边的长度”中“任意”如何理解，给予学生充分地思考交流时间。直接引发学生进行猜测与思考，同时让学生通过实验与交流，一步步去引导他们进行问题的发现与解决。

3.交流推测，指明推理方向。学生通过不同的观察角度确定两点、线段、折线后举例说明三角形两个顶点间连线中“折线”（两条边）的长度都大于“线段”（一条边）的长度。在这个过程中教师引导学生脱离“数据”的引导，归纳出三角形的一般性质，教师应积极推动学生运用观察、试验、比较、总结等方式来形成创新性的想法。这不仅能激发他们的学习兴趣，满足他们的好奇心，还能教会他们使用现有信息去检验问题的思维方式。虽然理解和掌握三角形的三个边的相互关联并不困难，但难点在于怎样引导他们在探索的过程中体验到解决问题所需要的思考步骤，熟练掌握推理技巧。

4.实践操作，验证推理结果

师：刚才我们数据计算和“两点之间线段最短”认识了三角形的三边关系，下面请看一个用小棒摆三角形的问题。请你迅速操作并判断一下，用图2的两组小棒摆三角形，结果怎么样？并说明理由。

基于已有的信息，我们观察到4厘米、5厘米及8厘米的三个短条可以形成符合条件的三角形。然而，当尝试用4厘米、5个厘米和10厘米的小棍来构建三角形的时候，可以发现无法实现。因为这些长度的组合产生了“10+5>4”“4+10>5”和“4+5<10”的结果，尽管满足了“两边之和大于第三边”的要求，但由于“4+5<10”这个事实的存在，导致无法构成三角形。为了让学生产生更好地直观依据，教师又提出：如果用尺规作图会出现什么现象呢？

生：用圆规分别画两条5厘米、4厘米线段时出现的两条弧线始终没有交点（图3）。

通过猜想、演示更加强化了三角形“任意”两边之和大于第三边的推理结论。为了更好地引导学生在实际操作中观察、猜想进而得到新的发现，教师在此基础上继续提问：如果用10厘米、5厘米、5厘米的小棒摆三角形，结果又会怎样（图4）？

生：因为5+5=10，两条边的和等于第三条边，这三根小棒也不能拼成三角形。

师：试着想一想如果会出现什么现象？

生：两根5厘米的小棒会和10厘米的小棒重合。

师：通过刚才的拼摆和验证，在比较三角形的三条边时，你有没有新的发现？

生：判断三根小棒（三条边）是否能组成三角形时，只要计算两条短边的和与最长边比较就可以。

经过对实际数据的研究，学生得以验证并修正他们的推论，确信三角形的任何两边的总长度都超过第三边。进一步证明只有当“三角形中的两个较小边加起来能超越第三边”这个前提成立时才能构成三角形。合情推理与演绎推理完美结合。

（三）分层练习，助力推理的提升

训练不只是要加强对已学知识的理解，同时也需要进行一定程度的提升。这种提升还包括对学生学习情绪和问题处理能力的增强。因此，笔者设计了巩固型和拓展型两个层次的训练。

1.巩固型：

大多数学生都能够正确地作出决定，而一部分的学生则从中学到了三角形的任何两边的总长必须超过第三边这一事实。这不仅增强了他们的逻辑思维能力，也让他们更加深入了解了这个概念。

2.拓展型：

如果三角形两条边的长分别为5分米和9分米，那么第三条边最长是多少分米？最短是多少分米？（取整分米数）

第三条边最长是（   ）分米，那么 5+9>（   ）

第三条边最短是（   ）分米，那么 5+（   ）>9

此项训练分成两个任务，首先设立了第一阶段的问题作为引导，为学生提供了一个思考的基础平台，他们可以运用现有的理解（任意两边之和大于第三边）来选择适当的长度作为第三边。第二阶段则进一步揭示了学生的认知：不仅对于前一阶段所得出的“两边之和大于第三边”有了更深入地领悟，还发现了如果需要保持这种关系，那么两边之间的差距也需要遵循同样的规律，因此三角形的任何两边之差必定小于第三边这既符合直觉又经过严密的论证。由此可见，一些学生能够轻易地得到以下两个等式：5+9>第三边边长，9-5<第三边边长，然后从这两种情况自然推出结果：第三边的最大值应为13厘米，最小值则是5厘米。

三、感悟：形成策略，提升学力

《课标》中指出，推理意识主要是指对逻辑推理过程及其意义的初步感悟。知道可以从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论，能够通过简单的归纳或类比猜想，或发现一些初步结论。对自己及他人的问题解决过程给予合理解释。推理意识有助于养成讲道理、有条理的思维习惯，增强交流能力，是形成推理能力的经验基础。推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。

（一）借助问题情境，创设推理平台

在这个关于三角形的三个边关系的学习过程中，我们得出了这样一个事实：三角形的任何两个边的总和都比第三个边要大。这一观点很容易被理解，但其背后的深层逻辑可能并不那么明显。为揭示这种内在的思考，本课通过利用直尺和圆规来构建三角形，然后自然地提出了这样的疑问：当我们将这两条边的长度相加并与剩余一条边做对比时，你们发现了什么？这样使学生亲身参与到计算、观测、比较及探讨的过程中去，并且借此机会向他们提问一些例如“为什么”“你的想法是什么”等问题，激励他们在基于数学原理和含义的基础上进行推理。教师应该持续创造出这些问题的环境，以便能进一步促进他们的思维能力的发展。

（二）凸显推理过程，培养推理意识

推理的目的就是为了证实结论。在实际教学过程中，教师重过程轻结论亦或是重结论轻过程的教学意识直接决定了教学过程中是否重视对学生素养能力的培养。推理的结论是显化的，而推理的过程是内隐的。为实现对学生的逻辑思维能力全面提升，教师需要使其推理过程更加明显。例如，当研究三角形的边长关系时，教师可以先通过任务卡的方式引导学生对比两个边的总和及第三个边的大小并将其数据填入表内展示计算成果，接着再让他们分享讨论得出初始观点。接下来，我们利用“直线距离最近”这个概念来解释“三角形的任意两边之和都超过了第三边”这一原理，并将整个思考过程及其最终答案也列在了表格里。学生通过观察以及有条理地讲述得到三角形“任意”两边之和大与第三条边的结论。

在这个过程中，学生能够从各种不同的视角去观察，运用已有的知识进行思考，并以语言来描绘数学知识的构建过程。有助于让学生的思维得到外化，也方便教师对学生的推理步骤、方法等进行针对性的指导，从而有效地培育学生的推理意识。

（三）累积活动经验，提升推理意识

学生通过参与数学活动而获得对数学的体验和认知。数学活动的目的是强调教育的过程性目标，而不仅仅是结果性目标。因为思想感悟和经验积累决定了人的思维方式，这些感悟和经验是通过体验而得到，不是仅仅被教导出来的。因此，个体的亲身经历是经验积累的必要条件。通过观察、计算、比较和证明的过程，学生可以体会到学习中探索新知识的乐趣，积累数学活动的经验，并提升数学推理能力，这个过程具有教学价值。因此，教师应该鼓励学生亲自经历问题的探索过程，完整地体验数学学习的过程，在这个过程中，教师应该智慧地引导学生领悟数学的基本思想，积累数学活动的经验，并培养和发展学生的推理意识。