聚焦本质　感悟运算一致性

李勇惠

摘   要：在运算教学中，算理和算法的理解与掌握离不开学生对运算本质具有一致性的体会。“分数乘整数”一课通过巧设情境，激活学生已有经验，让学生利用多元表征理解算理，在对比分析新旧知识联系中感悟运算一致性。

关键词：小学数学；运算；本质；感悟；一致性

中图分类号：G623.5   文献标识码：A   文章编号：1009-010X（2024）13-0024-04

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《课标》）提出“让学生经历算理和算法的探索过程，理解算理，掌握算法。感悟数的运算以及运算之间的关系，体会数的运算本质上的一致性，形成运算能力和推理意识。”可见，在计算教学中，教师不仅要关注算法，还要从运算本质出发，重视对算理的理解以及小学阶段有关运算的整体沟通与架构。

“分数乘整数”是冀教版教材五年级下册第四单元“分数乘法”的第一课时。此前，学生已经理解了分数的意义，掌握了整数、小数乘法和分数加法计算等知识。通过前测，笔者了解到，学生对分数加法、整数和小数乘法掌握较好，大部分学生会计算分数乘整数，但对算理理解不足。基于教材和学情分析，笔者认为本节课教学除了关注算法，更应聚焦运算的本质，关注学生对算理的理解和对运算一致性的体会。为此，本课教学目标确定为：1.结合具体事例，经历用已有知识解决问题、学习分数乘整数计算方法的过程；沟通分数乘整数与整数、小数乘法之间的联系，感悟运算的一致性，发展运算能力和推理意识；2.理解并掌握分数乘整数的计算方法，能正确计算分数与整数的乘法；3.体会用分数乘法解决分数连加问题的价值，激发学习新知识的兴趣。下面结合具体教学实践谈几点思考。

一、情境导入，巧设铺垫

师：同学们，红红和妈妈一起去超市买奶糖。一袋奶糖重400克，帮她算一算，3袋糖共重多少千克？

生：400乘3，等于1200克，也就是1.2千克。

师：你注意到了单位换算，真细心！具体地说一说你是怎样计算的？

生：把400看作4个百，乘3得到12个百，也就是1200。

（课件出示学生思考过程）

师：还有不同的做法吗？

生：先算一包奶糖多少千克，400克等于0.4千克，0.4乘3等于1.2千克。

师：说说你是怎样计算0.4×3的？

生：把0.4看作4个0.1，乘3就是12个0.1，也就是1.2。

（课件出示学生思考过程）

师：红红是这样算的，她把400克换算成千克，现在每袋奶糖重千克，接下来该怎么列式呢？

【思考】创设购买奶糖的情境，让学生利用已有知识解决3袋奶糖的质量问题。教师引导学生思考不同的解决方法，并有意识地引领学生回忆整数和小数乘法的算理，为接下来学习分数乘整数的算理做好铺垫，也为学生进一步感悟运算的一致性奠定基础。

二、自主探究，“理”“法”相融

（一）自主列式，了解意义

生：×3。（板书算式）

师：你为什么这样列式？

生：一袋奶糖是千克，买了3袋，就是3个千克，所以用乘3。

【思考】通过关键问题“×3，为什么这样列式？”引发学生对分数意义的思考，使学生初步感受分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同，都是求几个相同加数的和的简便运算，也可以理解为一个数的几倍，在此体现了分数乘法与整数、小数乘法在运算意义上的一致性。

（二）多元表征，理解算理

师：×3该怎样计算？先想一想，再试着计算，并把你为什么这样算，用画图、算式或文字形式记录在学习单上。完成后，在组内交流。

（学生自主解决，小组交流，教师巡视。）

师：谁来讲一讲自己的想法？

生1：（×3=++=）， ×3表示3个相加，同分母分数相加，分母不变，分子相加，所以结果是。

师：谁和他的想法一样？你们是利用转化的思想，把乘法问题转化为已经学过的同分母分数加法，解决了我们遇到的新问题。

生2：（×3==），我是这样想的，分母是5，分数单位就是，分子2是它的个数，乘3就是把分数单位的个数翻了三倍，当然分数单位是不变的，所以用分数单位的个数2×3作分子，就是。

生3：我用的是画图的方法，是把单位“1”平均分成5份，取其中的2份，3个就是取的份数乘3，2乘3得6，所以×3就等于。

师：真棒！你借助图形让大家清楚地看到了6个，这种数形结合的方法非常直观。除了把单位“1”画成长方形，还可以画成什么图形？

生4：我是把单位“1”画成了圆形……

生5：我画的是线段图，的分数单位是，每个里都有2个，×3就有6个，也就是。

师：谁能结合线段图再说一说2×3是什么意思？分母为什么不变？

（结合学生回答，出示课件。）

【思考】运算教学不仅要关注计算结果，更要使学生理解计算的道理。此环节通过展示多样化的算法，渗透了数形结合与转化的数学思想，鼓励学生迁移运用乘法的意义，自主寻找解决问题的办法。学生在多元表征和讨论交流中进一步理解分数乘法的意义，借助几何直观，理解分数与整数相乘改变的是分数单位的个数，而分数单位不变，因此分母不变的道理，同时深刻理解了分数乘整数运算的本质是若干个分数单位相加。

（三）自主总结，明晰算法

师：计算时我们要用简便的方法。想一想分数乘整数该怎样计算？同桌互相说一说。

生1：用分子乘整数当分子，分母当分母。

生2：其实就是分母不变，把分子和整数相乘作分子。

【思考】算理和算法是计算教学中两个不可缺少的关键要素。教学时，既要让学生在直观中理解算理，又要让学生掌握抽象的算法。在整个推演算理、推导算法的过程中，发展学生的运算能力和推理意识。

（四）整体建构，感悟运算一致性

师：结合直观图大家理解了×3就是在计算有几个这样的分数单位，回想刚才我们在算三袋糖的质量时，还用到了整数乘法、小数乘法。请同学们认真观察，在计算这些乘法时，有什么相同的地方？

（出示课件）

生1：它们都是求几个相同加数的和。在计算前和计算后，它们的分数单位、整数单位和小数单位都是不变的。

师：是的，这些都叫计数单位，在计算前和计算后，计数单位是不变的，什么变了呢？

生2：计数单位的个数变了，400×3就是求“4个百”乘3，是12个百；0.4×3就是4个0.1乘3，是12个0.1；×3就是2个乘3，是6个。

师：太棒了！我们在计算这些乘法时，其实都是在求几个相同加数的和，都是计算有几个这样的计数单位。

【思考】《课标》指出，通过整数、小数、分数的运算，进一步感悟计数单位在运算中的作用，感悟运算的一致性。由于五年级学生的知识体系还不完善，要使学生直接感悟运算的一致性还存在一定困难。因此，教师在课堂伊始巧妙利用例题引导学生回顾整数、小数乘法，并在此基础上沟通三者之间的联系。学生通过对比、观察，发现其实计算道理都是一样的，它们都是在计算有几个这样的计数单位。学生在亲自参与学习的过程中轻松地感悟整数、小数、分数乘法运算的一致性，加深了对分数乘法算理的理解，并最终形成了乘法计算的完整运算体系。

三、巩固练习，学以致用

1.看图列式计算

生1：第一小题，×2==。第二小题，×3=。

生2：第一小题要约分成最简分数。

生1：我同意你的观点。

师：所以你要提醒大家什么？

生1：能约分的要约成最简分数。

2.计算下列各题

7×  ×4  10×   ×c（b≠0）

3.据统计，一个没有拧紧的水龙头，每小时滴水升，那么这个水龙头一天（按24小时计算）大约流失水多少升？

（学生独立完成后集体交流，结合此题进行节约用水教育。）

【思考】计算练习不在多，而在精，尤其要围绕学习目标有针对性地练习。第一题主要考查学生对分数乘整数的意义和计算方法的掌握情况，发展学生的几何直观和运算能力。第二题考查分数乘整数或整数乘分数的计算方法的掌握情况。第三题是解决分数乘整数的简单实际问题，发展学生的应用意识和运算能力。

四、全课总结，畅谈收获

（一）巧设情境，在解决问题中激活经验

计算教学往往比较单调枯燥，为了避免机械计算，教师以购买奶糖的情境作为引入，将计算教学与解决实际问题有机结合。在学生自主解决“3袋糖共重多少千克”的问题中，学生的知识经验被激活，同时回顾了整数和小数乘法的算理。看似与本节课无关，但为后面帮助学生沟通整数、小数和分数乘法之间的联系，感悟运算一致性奠定了基础。在学生针对问题情境列出分数乘法算式后，教师追问“为什么这样列式”，使学生自然地将整数、小数乘法的意义迁移到分数乘整数的意义中。

（二）多元表征，在做数学中理解算理

数的运算教学重点是让学生知“法”明“理”。在算理理解过程中，做数学尤为重要，即借助算式、画图、说理、举例等多元方式，尝试将学生的思维外显，在与他人交流的过程中，逐渐学会条理思考、表达，并最终理解算理。本节课的探究算理环节，教师让学生自己尝试计算×3，并记录计算的思维过程。课上，有的学生从分数乘整数的意义出发，把分数乘法转化成连加算式，建立起分数加法和乘法的关系；有的用画图表示，在数形结合中感知分数单位的累加；还有的从推理的角度看，是2个，乘3就是6个，用学生的话说就是“翻了3倍”。这种条理的表达打开了学生思维的闸门，引发全班学生的深度思考。不同的表达方式，最终都让学生理解算理，并感悟到“分数单位”在运算中的重要作用。这样的感悟其实是学生真正经历了做数学，在画图和说理的过程中领悟了知识本质之“理”。

（三）联通本质，在对比分析中感悟运算一致性

“感悟运算的一致性”是《课标》对运算教学提出的新要求。由于教材中的运算知识分散在不同年级和单元中，教师要树立整体意识，用全局的、发展的眼光去分析教材，利用转化迁移思想构建新旧知识间的联系，使学生体会数的运算本质。本节课，在学生理解算理、抽象出一般算法后，教师引导学生观察、比较并思考：“分数乘整数与之前学习的整数乘法、小数乘法在计算时有什么相同的地方？”这样的前后呼应，巧妙地为学生搭建思维的阶梯，使学生构建新知识与原有认知结构的联系。学生感悟了：整数、小数和分数乘法的计算本质相同，都是求有多少个计数单位。学生在对比分析中体会到了运算的一致性。

参考文献：

［1］教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［S］.北京：北京师范大学出版社，2022.

［2］罗鸣亮.“形”虽有殊，其“理”归一——“分数乘整数”教学思考［J］.小学教学（数学版），2018，（7-8）：84～87.

［3］杨月玲.计算有结构教学更有法［J］.试题与研究，2022，（36）：43～45.

［4］杨   晔.“小数乘整数”教学片断与思考［J］.小学数学教育，2023，（Z2）：73～74+78.