聚焦推理意识 培养核心素养

王弋 晏莉娟 张茜

推理意识是重要的数学核心素养之一，主要是指对逻辑推理过程及其意义的初步感悟。“鸡兔同笼”问题的教学旨在让学生经历初步的逻辑推理过程，基于经验形成感悟，树立初步的推理意识，达到既能进行合情推理，又能进行初步的演绎推理的目标。

一、在猜想、列表中进行推理

“鸡兔同笼”问题出自《孙子算经》。本课采用教材中的例题“笼子里有若干只鸡和兔，从上面数，有8个头；从下面数，有26只脚，问鸡和兔各有多少只”展开教学。

学生阅读题目后，先依据“一只鸡有一个头、两只脚，一只兔子有一个头、四只脚”的基本常识，猜测鸡和兔的数量。学生经历自主学习、合作探究和教师讲解的学习过程后，一般能得到解决此问题的三种方法：列表法、画图法与假设法。在初识题目并进行计算的过程中，学生往往通过随机分配数量，拼凑得出鸡和兔一共有8个头、26只脚。拼凑过程中，学生通过计算发现结果与题目所给的总脚数有冲突，进而通过调整鸡和兔的数量得到正确答案。随机猜测这一做法不仅思路不清晰，还会花费大量时间。学生通过反思调整方法，用表格列举出鸡、兔只数变化时总脚数的变化情况（如表1）。

通过列表，学生发现：在鸡和兔的总数量为8只的前提下，有序调整鸡和兔的数量并计算出脚的总数，使之与题目中给定的“26”匹配即可。列表法具有清晰、直观的特点，既是解决问题的重要策略和方法，又是后续深入分析问题的关键，但是数量较大时，不可能通过列表法一一列举而得到正确答案。如何找到一种更加简洁的方法成为后续教学的重点。

二、在图示表达中进行推理

小学生更容易接受图形的直观表达。在探究过程中，教师要引导学生借助画图法进行推理。实践探究中，学生用“”表示鸡，用“”表示兔，并画了8只鸡，发现脚的总数比26只少了10只，进而展开分析：一只兔比一只鸡多2只脚，可以通过减少鸡的数量来增加兔的数量，进而增加总脚数，缺少的10只脚需要通过5只兔补齐，最终确定兔的数量为5只，鸡的数量为3只。画图及调整过程如图1所示。

此时，笔者出示另一种方法：先画8只兔，计算得出32只脚，由于32只脚比题目给定的26只脚多了6只脚，从而发现兔的数量多了，而1只鸡比1只兔少2只脚，可以通过减少兔的数量来减少脚的总数，每把1只兔换成1只鸡就减少2只脚，把3只兔换成鸡可使总脚数与题目中的26只脚一致，由此得出共有5只鸡、3只兔。画图及调整过程如图2所示。

最后，笔者引导学生总结：画图法比猜想法、列表法更加直观。在画图过程中动态描述脚的总数变化，有利于发展学生的想象力与运算能力，但数量较大的“鸡兔同笼”问题很难用画图法解决，不仅麻烦，还容易出现算重、算漏的情况。如何用数学语言对问题进行更深层次的分析呢？我们需要用到“假设”的数学思想。

三、在假设中进行推理

画图的推理过程隐含了一种假设的思想，即先假设一种极端情况，再根据实际进行数量调整。假设法应是学生经历了猜测、列表、画图等过程后总结得到的一种做题思路。假设笼子里全是鸡，总脚数就有“[2×8=16]”只，比题目给定的26只少10只，从而发现笼子里不全是鸡，还应有兔，1只兔比1只鸡多2只脚，每把1只鸡换成兔，总脚数会多2只，少的10只脚需要用“[10÷2=5]”只兔来补齐，所以兔的数量为5只，鸡的数量为3只。

列表的过程也体现了假设的思想，但与假设法不同。学生在列表描述鸡和兔的数量时，会假设笼子里有鸡和兔两种动物，而不是笼子里只有鸡或只有兔，这是学生对这一问题最直观的认识。假设法是做出了一种“极端”处理，即假设笼子里全都是兔或全都是鸡，进而将假设所得脚的数量与题目给定的脚的数量进行比对，得出最终结果。这种“极端”的假设需要学生在猜测、列表、画图的探索与修正过程中逐步理解，学生不可能直接联想到用假设法列式计算。教学时，教师要搭建“脚手架”，让学生结合图示表征方法，在试错的过程中不斷强化对问题解决思路和推理逻辑的理解，给予学生充足的时间和空间，让学生在动手实践、自主探索和合作交流中经历观察、猜想、计算等数学思维过程。在此过程中，教师可以通过变式问题，强化学生的推理意识。如学习“鸡兔同笼”例题后，教师可引导学生运用其中蕴含的模型思想解决新情境下的同类问题：“已知每条大船可以坐6人，每条小船可以坐4人，全班一共有38人，共租了8条船，每条船都坐满了。请问大、小船各租了几条？”教师要重点引导学生分析并明确：小船相当于“鸡”，大船相当于“兔”，8条船相当于“头数”，38人相当于“脚数”，通过类比理清新情境下这类问题的解决思路和过程。在此基础上，教师还可以组织学生讨论“鸡兔同笼”衍生出的实际问题，发散学生的思维，让学生迁移运用所学内容，进一步培养学生的推理意识。

（作者单位：黄冈师范学院数学与统计学院）

责任编辑  张敏

“鸡兔同笼”问题是我国广为流传的民间数学趣题，有助于培养学生的逻辑推理能力，帮助学生体会代数方法的一般性。教学中，如何使学生经历猜测、有序列表、图示表达、假设、推理、验证等自主学习过程，感悟解决问题策略的多样性？如何让学生理解、掌握“鸡兔同笼”问题中的数量关系，灵活运用多种方法解决问题？如何在解决问题的过程中培养学生的推理意识？本期，我们讨论如何更好地教学“鸡兔同笼”问题。