高一数学测试



○课外测试○

高一数学测试

一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分)

2.点M(-1，2，-3)关于原点的对称点是______.

3.已知直线l1:(k-3)x+(4-k)y+1=0与l2:2(k-3)x-2y+3=0平行，则k=______.

6.两点A(-2，0)，B(0，2)，点C是圆x2+y2-2x=0上任意一点，则∆ABC面积的最小值是______.

8.已知l、m是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面.下列命题：

①若l⊂α,m⊂α,l∥β,m∥β，则α∥β;

②若l⊂α，l∥β,α∩β=m,则l∥m;

③若α∥β,l∥α,则l∥β;

④若l⊥α,m∥l,α∥β,则m⊥β.

其中真命题是______(写出所有真命题的序号).

9.从直线x-y+3=0上的点向圆x2+y2-4x-4y+7=0引切线，则切线长的最小值为______.

11.若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和x轴都相切，则该圆的标准方程是______.

13.过点P(-4，0)的直线l与圆C：(x-1)2+y2=5相交于A，B两点，若点A恰好是线段PB的中点，则直线l的方程为______.

14.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2-8x+15=0，若直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与C有公共点，则k的最大值是______.

二、解答题(本大小题6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)

15.(本小题满分14分)设锐角∆ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且a=2bsinA.

(1)求B的大小；

(2)设直线l的方程为(a+1)x+y-2-a=0(a∈R)，若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程.

17.(本小题满分16分)如图所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点.

(1)求证：PA∥面BDE；

(2)平面PAC⊥平面BDE.

18.(本小题满分14分)如图所示，在四棱柱(侧棱垂直于底面的四棱柱)ABCD-A1B1C1D1中，已知DC=DD1=2AD=2AB,AD⊥DC,AB∥DC.

(1)求证D1C⊥AC1;

(2)设E是DC上一点，试确定点E的位置，使D1E∥平面A1BD，并说明理由.

19.(本小题满分16分)已知方程x2+y2-2x-4y+m=0.

(1)若此方程表示圆，求m的取值范围；

(2)若(1)中的圆与直线x+2y-4=0相交于M、N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求m的值;

(3)在(2)的条件下，求以MN为直径的圆的方程.

20.(本小题满分16分)已知⊙O：x2+y2=1和点M(4，2).

(1)过点M向⊙O引切线l,求直线l的方程；

(2)求以点M为圆心，且被直线y=2x-1截得的弦长为4的⊙M的方程；

参考答案

一、填空题

1.120°;2.(1,-2,3);3.3或5;

11.(x-2)2+(y-1)2=1;12.6π;

二、解答题

15.(1)∵a=2bsinA,

由余弦定理b2=a2+c2-2accosB=7，

16.(1)当直线l的斜率不存在时，画出图象可知，直线x=1也符合题意.

当直线l的斜率k存在时，其方程可设为y-2=k(x-1),又设圆心到直线l的距离为d.

即3x-4y+5=0.所以直线l的方程为3x-4y+5=0和x=1.

(2)当直线l经过坐标原点时，该直线在两坐标轴上的截距都为0,此时2+a=0,解得a=-2,此时直线l的方程为x-y=0;

所以，l的方程为x-y=0或x+y-2=0.

17.(1)连结OE，如图所示.

∵O、E分别为AC、PC中点，∴OE∥PA.

∵OE⊂面BDE，PA⊄面BDE，

∴PA∥面BDE.

∵PO⊥面ABCD，∴PO⊥BD，

在正方形∆ABCD中，BD⊥AC，

∵PO∩AC=O，∴BD⊥面PAC，

又∵BD⊂面BDE，∴面PAC⊥面BDE.

18.(1)在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，连结C1D.∵DC=DD1,

∴四边形DCC1D1是正方形，DC1⊥D1C.

又AD⊥DC，AD⊥DD1,DC∩DD1=D,

∴AD⊥平面DCC1D1,D1C⊂平面DCC1D1,

∴AD⊥D1C.

∵AD,DC1⊂平面ADC1,且AD∩DC1=D,

∴D1C⊥平面ADC1,

又AC1⊂平面ADC1,∴D1C⊥AC1.

(2)在DC上取一点E，连结AD1,AE,设AD1∩A1D=M,BD∩AE=N,连结MN.

∵平面AD1E∩平面A1BD=MN,要使D1E∥平面A1BD,须使MN∥D1E,又M是AD1的中点，

∴N是AE的中点，又易知∆ABN≌∆EDN,

∴AB=DE.即E是DC的中点.

综上所述，当E是DC的中点时，可使D1E∥平面A1BD.

19.(1)(x-1)2+(y-2)2=5-m,∴m<5.

(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),

则x1=4-2y1,x2=4-2y2,

x1x2=16-8(y1+y2)+4y1y2.

∵OM⊥ON,∴x1x2+y1y2=0，

∴16-8(y1+y2)+5y1y2=0.

①

5y2-16y+m+8=0,

(3)以MN为直径的圆的方程为

(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0，

即x2+y2-(x1+x2)x-(y1+y2)y=0，

20.(1)设切线l方程为y-2=k(x-4),易得

∴⊙M的方程为(x-4)2+(y-2)2=9.

(3)假设存在这样的点R(a,b),点P的坐标为(x,y),相应的定值为λ,根据题意，可得

即x2+y2-1=λ2(x2+y2-2ax-2by

+a2+b2).

(*)

又点P在圆上，∴(x-4)2+(y-2)2=9,

即x2+y2=8x+4y-11,代入(*)，得

8x+4y-12=λ2[(8-2a)x+(4-2b)y+(a2+y2-11)].若系数对应相等，则等式恒成立，