高考解析几何解答题的几种题型及应对策略

严循跃

(江苏省如皋中学，226500)



○高考之窗○

高考解析几何解答题的几种题型及应对策略

严循跃

(江苏省如皋中学，226500)

圆锥曲线综合题类型较多,是各地高考必考的大题之一,题目本身运算量较大,学生无论是解决问题方法的选取还是在运算技巧处理上都精准度较低.为了让学生能顺利解决此类题,本文通过对此类题常考类型进行归纳,以达到帮助同学克服畏难情绪,提高解题能力的目的.

题型1求参数的取值范围

例1在平面直角坐标系xOy中,点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1，记点M的轨迹为C.

(1)求轨迹C的方程;

(2)设斜率为k的直线l过定点P(-2,1).求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围.

分析在第(1)问中,可先设点M(x,y),由题意可求得点M的轨迹方程.在第(2)问中,可先由点斜式把直线方程写出来,将直线方程与第(1)问所求的轨迹方程联立,需注意考虑k=0及k≠0的情况,当k≠0时,联立后得到的关系式,还需讨论方程的判别式Δ及直线与x轴交点的横坐标的正负.

简解(1)易得点M的轨迹C的方程为

(2)在点M的轨迹C中,记C1:y2=4x,C2:y=0(x<0).

依题意,可设直线l的方程为

y-1=k(x+2).

ky2-4y+4(2k+1)=0.

①

当k≠0时,方程① 的判别式为

Δ=-16(2k2+k-1).

②

设直线l与x轴的交点为(x0,0),则

③

规律方法求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数,通过求这个函数的值域确定目标的范围.在建立函数的过程中要根据题目的其他已知条件,把需要的量都用我们选用的变量表示.有时为了运算的方便,在建立关系的过程中也可以采用多个变量,只要在最后结果中把多变量归结为单变量即可,同时要特别注意变量的取值范围.

求解特定字母取值范围问题的常用方法:(1)构造不等式法:根据题设条件以及曲线的几何性质(如:曲线的范围、对称性、位置关系等),建立关于特定字母的不等式(或不等式组),然后解不等式(或不等式组),求得特定字母的取值范围.(2)构造函数法:根据题设条件,用其他的变量或参数表示欲求范围的特定字母,即建立关于特定字母的目标函数,然后研究该函数的值域或最值情况,从而得到特定字母的取值范围.(3)数形结合法:研究特定字母所对应的几何意义,然后根据相关曲线的定义、几何性质,利用数形结合的方法求解.

题型2定点问题

例2已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1.

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)若直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A,B两点(A,B不是左右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点,求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标.

(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由l与C的方程联立可得3+4k2-m2>0，故

由AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0),易得kAD·kBD=-1,即

当m=-2k时,l:y=k(x-2),直线过定点(2,0),与已知矛盾;

题型3定直线问题

(1)求椭圆C的方程;

(2)设直线x=my+1与椭圆C交于P、Q两点,直线A1P与A2Q交于点S．试问:当m变化时,点S是否恒在一条定直线上?若是,请写出这条直线方程,并证明你的结论;若不是,请说明理由．

若点S在同一条直线上,则直线只能为l:x=4.以下证明对于任意的m,直线A1P与直线A2Q的交点S均在直线l:x=4上．

(m2+4)y2+2my-3=0.

记P(x1,y1),Q(x2,y2),则

∴y0=y0′,即S0与S0′重合,这说明,当m变化时,点S恒在定直线l:x=4上．

以下证明对于任意的m,直线A1P与直线A2Q的交点S均在直线l:x=4上．事实上,记P(x1,y1),Q(x2,y2),则由方法1得

消去y,得

①

②

∵2my1y2-3(y1+y2)=0,

∴②式恒成立．这说明,当m变化时,点S恒在定直线l:x=4上．

方法3记P(x1,y1),Q(x2,y2),

由方法2得A1P与A2Q的方程联立消去y

=4.

这说明,当m变化时,点S恒在定直线l:x=4上．

题型4定值问题

(1)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程;

①

②

③

∵A(x1,y1)在椭圆C0上,

代入③，可得

∴点M的轨迹方程为

(2)设A′(x3,y3,因为矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的面积相等,所以

∵A,A′均在椭圆上,

规律方法解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决.证明过程可总结为“变量——函数——定值”,具体操作程序如下:

(1)变量——选择适当的量为变量;

(2)函数——把要证明为定值的量表示成变量的函数;

(3)定值——化简得到函数的解析式,消去变量得到定值．

求定值问题常见的方法有两种:

(1)从特殊情况入手,求出定值,在证明定值与变量无关;

(2)直接推理、计算,并在计算过程中消去变量,从而得到定值．

题型5最值问题

(1)求椭圆C的方程.

(2)过原点的直线与椭圆C交于A,B两点(A,B不是椭圆C的顶点).点D在椭圆C上,且AD⊥AB,直线BD与x轴、y轴分别交于M,N两点.

① 设直线BD,AM的斜率分别为k1,k2,证明存在常数λ使得k1=λk2,并求出λ的值;

② 求∆OMN面积的最大值.

设直线AD的方程为y=kx+m(k≠0,m≠0)与C的方程联立,可得

(1+4k2)x2+8mkx+4m2-4=0，

由题意知x1≠-x2,

令y=0,得x=3x1,即M(3x1,0).可得

由① 知M(3x1,0),可得∆OMN的面积

规律方法圆锥曲线中的最值问题类型较多,解法灵活多变,但总体上主要有两种方法:一是利用几何方法,即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解;二是利用代数方法,即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式),然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.

常见的几何方法有:(1)直线外一定点P到直线上各点距离的最小值为该点P到直线的垂线段的长度;(2)圆C外一定点P到圆上各点距离的最大值为|PC|+R,最小值为|PC|-R(R为圆C半径);(3)过圆C内一定点P的圆的最长的弦即为经过点P的直径,最短的弦为过P点且与经过P点直径垂直的弦;(4)圆锥曲线上本身存在最值问题,如① 椭圆上两点间最大距离为2a(长轴长);② 双曲线上两点间最小距离为2a(实轴长);③ 椭圆上的点到焦点的距离的取值范围为[a-c,a+c],a-c与a+c分别表示椭圆焦点到椭圆上点的最小与最大距离;④ 抛物线上的点中顶点与抛物线的准线距离最近.

常用的代数方法有:(1)利用二次函数求最值;(2)通过三角换元,利用正、余弦函数的有界性求最值;(3)利用基本不等式求最值;(4)利用导数法求最值;(5)利用函数单调性求最值.

题型6圆锥曲线中的存在性问题

(1)求该椭圆的标准方程;

(2)是否存在圆心在y轴上的圆,使圆在x轴的上方与椭圆有两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点?若存在,求出圆的方程;若不存在,请说明理由.

当x1=0时,P1,P2重合,题设要求的圆不存在.

设C(0,y0),由CP1⊥F1P1,得

综上,存在满足题设条件的圆,其方程为

规律方法所谓存在性问题,就是判断满足某个(某些)条件的点、直线、曲线(或参数)等几何元素是否存在的问题.这类问题通常以开放性的设问方式给出,若存在符合条件的几何元素或参数值,就求出这些几何元素或参数值,若不存在,则要求说明理由.求解存在性问题时,通常的方法是首先假设满足条件的几何元素或参数值存在,然后利用这些条件并结合题目的其他已知条件进行推理与计算,若不出现矛盾,并且得到了相应的几何元素或参数值,就说明满足条件的几何元素或参数值存在;若在推理与计算中出现了矛盾,则说明满足条件的几何元素或参数值不存在,同时推理与计算的过程就是说明理由的过程.

解决存在性问题应注意以下几点:(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论;(2)当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件;(3)当条件和结论都不知,按常规方法解题很难时,要思维开放,采取另外的途径.

解决存在性问题的解题步骤:第一步:先假设存在,引入参变量,根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组);第二步:解此方程(组)或不等式(组),若有解则存在,若无解则不存在;第三步:得出结论.