高二数学测试



高二数学测试

一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分)

1.已知i是虚数单位,则i2 015=______.

3.按三段论式推理,进行如下推理.大前提:所有的车子都有四个轮子.小前提:自行车是车子.结论:______.

4.已知平行四边形ABCD的三个顶点A,B,C分别对应复数3+3i,-2+i,-5i,则第四个顶点D对应的复数为______.

5.若复数z满足(3-4i)z=5,则z的虚部为______.

6.如图,直线l是曲线y=f(x)在x=5处的切线,则f(5)+f′(5)=______.

7.用反证法证明命题“a,b∈N,ab可被5整除,那么a,b中至少有一个能被5整除”时,假设的内容应为“a,b______能被5整除”.

8.已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足关系式f(x)=x2+3xf′(2)+lnx,则f′(2)的值等于______.

10.若z∈C且|z+2-2i|=1,则|z-2-2i|的最小值为______.

11.已知函数f(x)的导数f′(x)=a[x2+(1-a)x-a] (a≠0),若函数f(x)在x=a处取到极大值,则实数a的取值范围是______.

13.设动直线x=t与函数f(x)=x3,g(x)=lnx的图象分别交于点M,N,则MN的最小值为______.

14.函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,f′(x)为f(x)的导函数,已知y=f′(x)的图象如图所示,则f(x)> 2x+4的解集为______.

二、解答题(本大题共6小题,共计90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

15.(本小题满分14分)已知复数,z1=1+2i,z2=-2+i，

(1)求z3;

(2)若复数z满足z+z1为实数,且z(z2-z3)为纯虚数,求z.

16.(本小题满分14分)(1)证明:正三角形内任一点(不与顶点重合)到三边的距离和为定值；

(2)通过对(1)的类比,提出正四面体的一个正确的结论,并予以证明.

17.(本小题满分14分)已知函数f(x)=ax3+3x2-12x+1(a∈R),且当Δx→ 0时,

(1)求函数f(x)的单调区间;

(2)求函数f(x)在区间[-3, 3]的最大值与最小值.

18.(本小题满分16分)已知f(x)=ax-lnx,x∈(0,e],其中e是自然对数的底数,a∈R.

(1)当a=1时,求函数f(x)的极值;

(2)是否存在实数a，使函数f(x)的最小值是3?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由;

19.(本小题满分16分)如图,在圆心角为变量2θ(0 < 2θ< π)的扇形OAB内作一半径为r的内切圆P,再在扇形内作一个与扇形两半径相切并与圆P外切的小圆Q,圆P与圆Q相切于点C,圆P和圆Q与半径OA分别切于E,D两点.

20.(本小题满分16分)设函数f(x)=ex-ax,其中e是自然对数的底数,a∈R.

(1)若函数y=f(x)的图象在x=ln 2处的切线l的倾斜角为0,求切线l的方程;

(2)记函数y=f(x)图象为曲线C,设点A(x1,f(x2)),B(x2,f(x2))(x1

参考答案

一、填空题

3.自行车有四个轮子 ;

10.3;11.-1 < a < 0;

二、解答题

15.(1)由z1=1+2i,z2=-2+i,得

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=-1+2i,

故z3=-1-2i;

(2)设z=x+yi(x,y∈R).

由z+z1为实数,得y+2=0,即y=-2.

又z2-z3=-2+i+1+2i=-1+3i,

则z(z2-z3)=(x-2i)(-1+3i)

=6-x+(3x+2)i.

∴x=6,∴z=6-2i.

点P到正三角形三边的距离分别为h1,h2,h3,三角形边长为a高为h,则三角形的面积

即h=h1+h2+h3.

所以,正三角形内任一点(不与顶点重合)到三边的距离之和为定值.

(2)类比的结论是:正四面体内任一点(不与顶点重合)到它的四个面的距离和为定值.

下面给出证明:如图，设点P为正四面体A-BCD内部任一点,且点P到四个面的距离分别为PM1,PM2,PM3,PM4,正四面体的高为h,则点P将四面体分成四个共顶点的三棱锥.

由VP-BCD+VP-ACD+VP-ABD+VP-ABC=VA-BCD,

因为ABCD为正四面体,所以四个面面积相同,故

PM1+PM2+PM3+PM4=h.

又f′(x)=3ax2+6x-12,则3a+6-12=0,故a=2，

所以f′(x)=6x2+6x-12.

令f′(x)>0,解得x<-2或x>1,

所以函数的单调增区间为(-∞,-2)和(1,+∞).

令f′(x)<0,解得-2

(2)f(x)=2x3+3x2-12x+1.

由(1)列表如下：

x-3(-3,-2)-2(-2,1)1(1,3)3f'(x)+0-0+f(x)10↗21↘-6↗46

从上表可知,函数在x=3处取得极大值,在x=1时取得极小值,

又因为f(-3)=10>-6,f(3)=46>21,

所以函数在区间[-3, 3]上的最大值是46,最小值是-6.

令f′(x)> 0, 得1

所以函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，e]上单调递增，且当x∈(0,e]时，f(x)有极小值f(1)=1.

(2)由f(x)=ax-lnx，得

综上，当a=e2时满足条件.

(3)由(1)知,当(0, e]时,f(x)有极小值f(1)=1.

当x∈(0, e] 时,g(x)> 0, 则g(x)在(0, e] 上单调递增，

所以f(x)min>g(x)max.

整理得10sin2θ-7sinθ+1≤0,

(2)BH=OBsin 2θ

=2cosθ(1+sinθ)r,

则f′(θ)=-sinθ(1+sinθ)+cosθcosθ

=-2sin2θ-sinθ+1.

令f′(θ)>0,

即-2sin2θ-sinθ+1>0,

故“最理想扇形”的面积为

20.f′(x)=ex-a.

(1)由函数y=f(x)的图象在x=ln 2处的切线l的倾斜角为0,即f′(ln 2)=tan 0=0,

则eln 2-a=0,即a=2.

又f(ln 2)=eln 2-2ln 2=2-2ln 2,

故切线l的方程为y=2-2ln 2.

(2)由题意知

曲线C在点N处切线斜率k′=f′(0)=1-a.

假设曲线C在点N处的切线平行于直线AB,

则g(x)在(0,+∞)上单调递增，则

g(x)>g(0)=0,

因此曲线C在点N处的切线不平行于直线AB.