基于=0的类比联想

刘正章

(陕西省汉中市405学校，723312)



○数学探究○

刘正章

(陕西省汉中市405学校，723312)

本文中S∆OAB、VOABC分别表示∆OAB的面积和四面体OABC的体积,其余类同.

一、猜想的探究

1.先证明以下事实

2. 证明猜想1

故猜想1得证.

二、一般化探究

如果各向量的倍数不是1,而是其它正实数,情形会发生怎样的变化呢?

1.从一维到二维

S∆OAB∶S∆OBC∶S∆OCA=p∶m∶n.

S∆OA1B1=S∆OB1C1=S∆OC1A1.

故S∆OAB∶S∆OBC∶S∆OCA=p∶m∶n.

猜想2正确.

故S∆OAB∶S∆OBC∶S∆OCA=p∶m∶n.

2.从二维到三维

类比二维的结果联想，有:

VOABC∶VOBCD∶VOCDA∶VODAB=q∶m∶n∶p.

结论2若D、E、F分别在四面体OABC的棱OA、OB、OC上,则

下面证明猜想3.

三、 几点反思

(1) 由上面的证明不难发现,向量前面的系数无关紧要,不仅取正数时成立,而取负数并不妨碍问题的本质,即O点在图形外部类似结论仍然成立.

(2) 升降维类比是类比思想的重要类型之一,这里体现的类比对应关系如下:

宏观上以“维数”为思考方向,以相似的向量式为切入点,探求了相应图形的相似性质,尤其值得重视的是探究问题和解决问题的类比思想方法.

(3) 类比作为一种发现、拓展、创新的科学方法,早就被科学家们所认识.我们一线教师应该抓住这个教育培养学生素质的契机,从思想上意识到和在教学中践行如开普勒讲的“我珍惜类比胜于任何别的东西,它是我最可信赖的老师,它能揭示自然界的秘密,在几何学之中它应该是最不容易忽视的.”这段话的精神.