双曲线中三线共点问题探究

高丰平

(湖北省孝昌县第二高级中学，432900)



双曲线中三线共点问题探究

高丰平

(湖北省孝昌县第二高级中学，432900)

“三线共点”问题是双曲线中较为常见的问题.通常可以先联立两条直线方程,求出交点,再将交点坐标代入第三条直线方程中来验证.这类问题的解决往往要结合双曲线的定义、几何性质,变化较多,难度较大.下面以一道联考题引入并作一些探究.

结论1自双曲线的焦点作渐近线的垂线,垂足必在相应的准线上,即过焦点所作的渐近线的垂线,渐近线及相应准线三线共点.

评注不难得到,直线DF也是圆x2+y2=a2的切线.这条性质是双曲线的一个基本性质,但有些三线共点的情况只是对一些特殊的双曲线才成立.

评注这是一类特殊的双曲线,不是所有的双曲线都有这个性质.用截距式写直线FB的方程比较方便,先求出两条直线的交点,然后由该交点也在第三条直线上来列式求解.如果把焦点换作顶点,我们又会得到一些不同的结论.

与直线l的方程bx-ay=0联立，解得

|NF|2=|HF|2+|NH|2

(*)