基于中国市场的鲁棒欧式期权定价实证分析

田孟昊,韩有攀

(西安工程大学 理学院,西安 710600)

期权是金融市场上重要的衍生证券之一,期权定价合理是期权发挥增进市场流动性与提升市场配置效率作用的重要保证。期权定价中,经典的模型有Blank-Scholes模型[1]、Merton的混合跳跃扩散模型[2]、Cox等的恒定方差弹性模型[3]与Madan等的方差-伽马模型[4]等,这些模型均是在假设随机收益分布已知的情况下进行研究的,在实践中往往难以实现。

本研究利用中心极限定理为累积收益建立多面体不确定集,通过鲁棒优化方法建立欧式看涨期权定价模型。该不确定集下,可以通过对偶理论[5]使鲁棒期权定价模型转化为易求解的线性规划问题。

1 不确定集的建立

利用鲁棒优化方法解决期权定价问题时,要选取合适的不确定集[5]。多面体不确定集Uc={ξ∶‖ξ‖1≤τ1,|ξ|≤τ2}具有线性结构和易控制不确定性的优势,可根据标的资产的历史收益数据与中心极限定理构造关于累积收益的多面体不确定集。

(1)

假设标的资产的收益服从几何布朗运动,于是再由中心极限定理可得:

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

2 鲁棒欧式期权定价模型

欧式期权的标的物为一种标的资产,标的资产的价格在离散时间点上变化。自融资策略下,∈-套利原理是寻求将标的资产S和无风险资产B组成的投资组合进行动态复制,使其在任意时刻的价值与期权的收益基本一致,从而保证在T时刻该投资组合的价值WT与期权收益P(ST,K)的误差尽可能小,则投资组合初始价值W0为期权的价格。基于此,鲁棒欧式期权定价模型为:

(7)

(8)

利用上述划分可以得到与式(8)等价的线性规划问题,详见式(9):

(9)

minε

(10)

3 实证分析

选取上证50ETF和上证300ETF欧式看涨期权数据,具体数据为:①上证50ETF标的资产当前价为2.748元,敲定价为2.45～2.95元,剩余期限为42天。②上证50ETF标的资产当前价为2.727元,敲定价为2.55～3元,剩余期限为22天。③上证300ETF标的资产当前价为4.116元,敲定价为3.643～4.4元,剩余期限为41天。

使用MATLAB®2022b-academic use软件中优化工具箱的“linprog”求解了线性规划问题,并利用金融工具箱的“blsprice”做期权定价对比实验。数值结果表明,鲁棒期权定价模型计算出的期权价格与经典的B-S模型计算出的价格相比,精度更高,更接近期权的实际价格,详见表1、表2、表3。通过拟合ρ关于K/S的二次函数捕捉到B-S模型存在“隐含波动率微笑”现象,原因可能是期权持有者对不同执行价格具有不同的风险厌恶程度,详见图1、图2、图3。

图1 上证50ETF 42天欧式看涨期权的风险厌恶水平-rho vs K/SFig.1 Shanghai stock exchange 50ETF 42-day European call option -rho vs K/S

图2 上证50ETF 22天欧式看涨期权的风险厌恶水平-rho vs K/SFig.2 Shanghai stock exchange 50ETF 22-day European call option -rho vs K/S

图3 上证300ETF 41天欧式看涨期权的风险厌恶水平-rho vs K/SFig.3 Shanghai stock exchange 300ETF 41-day European call option -rho vs K/S

表1 上证50ETF 42天欧式看涨期权Tab.1 Shanghai stock exchange 50ETF 42-day European call option

表2 上证50ETF 22天欧式看涨期权Tab.2 Shanghai stock exchange 50ETF 22-day European call option

表3 上证300ETF 41天欧式看涨期权Tab.3 Shanghai stock exchange 300ETF 41-day European call option

4 结论

通过∈-套利方法与自融资策略建立鲁棒期权定价模型,选取我国期权市场上三组期权进行定价实验,模型结果与传统B-S模型结果相比在精度上有了明显的提高,说明鲁棒定价模型能够为解决我国金融市场的欧式期权定价问题提供一定的参考,丰富了期权定价的数值方法。